آموزشی مکانیک کلاسیک

[noora]

در این فرمول‌بندی به تابعی به‌نام لاگرانژین (L) اشاره می‌شود که برابر تفاضل انرژی ظرفیت از انرژی جنبشی است:

ده سال بعد از معرفی این فرمول‌بندی، لاگرانژ نامه‌ای به دلامبر، ریاضیدان فرانسوی فرستاد و در آن ذکر کرد، که در نظر او کاری که در نوزده سالگی در محاسبه تغییرات انجام داده شاهکار اوست و به‌وسیله همین محاسبه است، که لاگرانژ توانست تمام دانش مکانیک را منسجم کند و به قول هامیلتون از آن نوعی «شعرعلمی» به‌وجود آورد.

 

[noora]

صورت‌بندی هامیلتون از مکانیک​

برای یک دستگاه با N درجه آزادی، درصورت‌بندی لاگرانژ N معادله دیفرانسیل درجه دوم داریم که این معادلات با در دست داشتن مختصات و سرعت‌های اولیه یک حل یکتا به‌عنوان مسیر درفضای پیکربندی‌ها به‌دست می‌آید. هامیلتون صورت‌بندی متفاوتی ازمکانیک کلاسیک ارائه داده است، که از بسیاری جهات به‌خصوص برای تعمیم نظری مکانیک کلاسیک به چهارچوب کوانتومی مناسب است. برای توصیف این صورت‌بندی لازم است، که نخست تکانه یا تکانه تعمیم یافته را تعریف کنیم.

 

[noora]

تکانه مزدوج با مختصه (

) به شکل زیرتعریف می‌شود:

که در آن

تابع لاگرانژین و

سرعت جسم است.

 

[noora]

تقارن و نتایج آن​

جهان اطراف ما و پدیده‌های فیزیکی که درآن اتفاق می‌افتد، از بعضی جهات متقارن است. به‌عنوان مثال اگر آزمایشی را امروز انجام دهیم و سپس فردا آن را تکرار کنیم، همان نتیجه‌ای را به دست خواهیم آورد، که امروز به‌دست می‌آوریم. این امر ناشی از همگنی زمان و یک خاصیت مهم طبیعت است. البته فردا با امروز از بسیاری جهات مثل دما و رطوبت، میزان تابش آفتاب و وزش باد متفاوت است، به همین دلیل وقتی که از همگنی زمان سخن می‌گوییم، باید توجه خود را به یک آزمایش ایده‌آل که عوامل فوق درآن مؤثر نیستند، معطوف کنیم یا اینکه آزمایش را درهمان شرایط دما و رطوبت و غیرآن تکرار کنیم. بنابراین می‌توانیم بگوییم رفتار یک سیستم تحت انتقال در زمان مطلق یا رفتار یک سیستم بسته تحت انتقال در زمان متقارن است و تغییر نمی‌کند. این تقارن آنقدر واضح و بدیهی است، که اهمیت آن را کمتر حس می‌کنیم، بااین‌حال این تقارن بسیار مهم است و درواقع دلیل اصلی قانون بقای انرژی است. به همین ترتیب دنیای اطراف ما تحت انتقال در فضای مطلق متقارن است (می‌توان فضای بین کهکشان‌ها را فضای مطلق در نظر گرفت که در آن تقریبا هیچ عاملی روی یک آزمایش که انجام می‌دهیم، اثرندارد) یا اینکه بگوییم رفتار یک سیستم بسته تحت انتقال در فضا متقارن است. اگر آزمایشی را در تهران انجام دهیم همان نتیجه‌ای را به‌دست می‌آوریم که در تبریز، خواهیم دید که این تقارن منجر به یک قانون بقای مهم یعنی قانون بقای تکانه خطی می‌شود و بالاخره دنیای اطراف ما تحت دوران در فضای مطلق نیز متقارن است یا رفتار یک سیستم بسته تحت دوران در فضا متقارن است. اگر آزمایشی را رو به شمال انجام دهیم همان نتیجه‌ای را بدست می‌آوریم که رو به جنوب. البته اگر میدان مغناطیسی زمین دراین آزمایش تأثیر گذار باشد، دو نتیجه متفاوت به‌دست خواهد آمد، ولی در این صورت سیستم بسته نیست. این تقارن منجر به قانون بقای اندازه حرکت زاویه‌ای می‌شود. این خواص تقارنی هستند که تکرارپذیری آزمایش‌ها و اساسا قدرت پیش‌بینی علم فیزیک را امکان‌پذیر می‌کنند.

 

[noora]

مشکلات مکانیک کلاسیک​

قوانین نیوتن​

در قانون دوم نیوتن سرعت نامتناهی قابل قبول است، زیرا در قوانین نیوتن خواص فیزیکی ماده مستقل از سرعت آن فرض شده ‌است. در این صورت جسم باتوجه‌به رابطه انرژی جنبشی (

) دارای انرژی نامتناهی می‌شود، اما تاکنون چنین پدیده‌ای مشاهده نشده است، این مشکلات بعدها و در اوایل قرن بیستم توسط نسبیت عام برطرف شد. همچنین قانون سوم نیوتن، بحث برهم‌کنشی را مطرح می‌کند و اعلام می‌دارد که همواره یک واکنش برابر در جهت مخالف وجود دارد، اما این اصل در حالاتی خاص از الکترومغناطیس دچار نقض و ایراد می‌شود.

 

[noora]

دستگاه مرجع مطلق اتر و فضا و زمان نیوتنی​

نیوتن در ارائه قوانین خود، از یک اصل و نکته مهم به زیرکی عبور کرد و عملا با نادیده‌گرفتن آن قوانین خود را بیان کرد و آن این است که این قوانین نسبت به کدام دستگاه مقایسه‌ای مطرح شده‌اند. زیرا در تمام تجربیات مکانیکی از هر نوع که باشند باید وضعیت نقاط مادی را در لحظه معین نسبت به مکانی خاص در نظر گرفته شود. نیوتن در نظر داشت که کالبد فضا در حالت سکون است؛ یعنی می‌توان از حرکت مطلق سخن گفت. اما در آن زمان اعتقاد عمومی بر این بود که کالبد فضا از اتر (عنصر پنجم ارسطویی) انباشته‌ است. یعنی چنین تصور می‌شد که اتر در فضا مستقر و ساکن است و به هیچ روی حرکت نمی‌کند و همه اجسام در اتر غوطه‌ورند. همچنین دانشمندان کلاسیک همواره تأثیر در فاصله دور را امری می‌پنداشتند، که تصور آن دشوار بود و هضم این مطلب؛ که نیروی گرانش می‌تواند از فواصل دور اثر ‌کند، نیوتن را به تعجب واداشته‌بود. نیوتن به منظور توضیح این اثر، عقیده‌ی ارسطو را درباره اینکه جهان از اتر پر شده‌ است را پذیرفت و گمان کرد که ممکن است، گرانش به طریقی توسط اتر منتقل شود؛ لذا اتر ضمن آن‌که دستگاه مقایسه‌ای مطلق بود، وسیله انتقال گرانش نیز به حساب می‌آمد. همچنین نیوتن در کتاب اصول فلسفه‌ی طبیعی نوشت:

زمان؛ مطلق، حقیقی، ریاضی، خود بخود و به‌علت ماهیت ویژه خود، به‌طور یکنواخت و بدون ارتباط با هیچ چیز خارجی جریان دارد.

 

[noora]

بنابراین، از دیدگاه نیوتن زمان یک مقیاس جهانی بود، که مستقل از همه اجسام و پدیده‌های فیزیکی وجود داشت. زمان به‌دلیل ماهیت خود جریان داشت و این جریان وابسته به هیچ چیز دیگری نبود. همچنین در مورد فضا نظر او چنین است که فضا در ذات خود مطلق و بدون احتیاج به یک چیز خارجی همه جا یکسان و ساکن است. این‌گونه نگرش به مطلق در قوانین نیوتن راهگشای بسیاری از ابهامات مکانیک نیوتنی بود. زمان مطلق، فضا مطلق و حرکت مطلق مواردی بودند که مکانیک نیوتنی براساس آن‌ها شکل گرفته بود.

 

[noora]

اینشتین در جون سال ۱۹۰۵ طی یک نوشتار علمی خاطر نشان کرد، که اگر کسی نتواند آشکار کند که چیزی درون فضا در حال حرکت است، مفهوم اتر مفهومی زائد است. وی در مقاله ۱۷ صفحه‌ای خود تحت عنوان درباره‌ی دیدگاه اکتشافی مربوط به گسیل و انتظار نور که در مجله علمی آنالن دِر فیزیک منتشر ساخت، نظریه کوانتومی نور را عرضه کرد. دراین‌میان آزمایش معروف مایکلسون-مورلی راه را برای پذیرش نظریه‌ی نسبیت خاص که اینشتین در سال ۱۹۰۵ ارائه داد، هموار کرد. آزمایش مایکلسون-مورلی را معمولاً نخستین شاهد قوی برای رد نظریه‌ی اِتِر می‌دانند. آلبرت مایکلسون به خاطر این آزمایش جایزه نوبل فیزیک را در سال ۱۹۰۷ از آن خود کرد. اینشتین نظریه نسبیت خاص خود را با این اصل آغاز کرد که قوانین علم برای همه ناظرانی که به‌طور آزاد در حرکت‌اند باید یکسان باشد. سرعت نور در خلأ از سرعت حرکت ناظر مستقل است و در همه جهات یکی است. این بدان معنی بود که کمیت جهانی و واحد زمان که همه ساعت‌ها آن را یکسان می‌سنجند، کنار گذاشته می‌شود و به‌جای آن، هر ک.س زمان مخصوص خودش را دارد.

 

[noora]

قانون گرانش​

اشکال اساسی قانون گرانش عمومی این است، که محدودیتی برای آن وجود ندارد. خود نیوتن نیز متوجه آن شده بود. نیوتن دریافت که بر اثر قانون گرانش او، ستارگان باید یکدیگر را جذب کنند و بنابراین اصلاً به‌نظر نمی‌رسد که ساکن باشند. نیوتن در سال ۱۶۹۲ طی نامه ای به ریچارد بنتلی نوشت:

اگر تعداد ستارگان جهان بی‌نهایت نباشد و این ستارگان در ناحیه‌ای از فضا پراکنده باشند، همگی به یکدیگر برخورد خواهند کرد. اما اگر تعداد نامحدودی ستاره در فضای بیکران به‌طور کمابیش یکسان پراکنده باشند، نقطه مرکزی در کار نخواهد بود تا همه به‌سوی آن کشیده شوند و بنابراین جهان در هم نخواهد ریخت.

 

[noora]

مشکل بعدی قانون گرانش نیوتن این است، که طبق این قانون یک جسم به‌طور نامحدود می‌تواند سایر اجسام را جذب کرده و رشد کند، یعنی جرم یک جسم می‌تواند تا بینهایت افزایش یابد. این نیز با تجربه تطبیق نمی‌کند، زیرا وجود جسمی با جرم بینهایت مشاهده نشده ‌است. مشکل بعدی قوانین نیوتن در مورد دستگاه مرجع مطلق بود. همچنان که می‌دانیم حرکت یک جسم نسبی است، وقتی سخن از جسم در حال حرکت است، نخست باید دید نسبت به چه جسمی یا درواقع در کدام چارچوب در حرکت است. قوانین نیوتن نسبت به دستگاه مرجع مطلق مطرح شده بود. یعنی در جهان یک چارچوب مرجع مطلق وجود داشت که حرکت همه اجسام نسبت به آن قابل سنجش بود. اختلاف در مدار عطارد نیز باعث نقص در نظریه نیوتن شد. در پایان قرن ۱۹ دانشمندان می‌دانستند که مدار عطارد دارای آشفتگی‌های کمی است که نمی‌توان در محاسبات آن را به‌طور کامل تحت نظریه نیوتن درآورد، اما همه جستجوها برای اختلال‌های جرمی دیگری (مانند یک سیاره در حال چرخش به دور خورشید، حتی نزدیک‌تر از عطارد) بی‌نتیجه بود. تمامی این مشکلات، بعدها توسط نظریه نسبیت عام حل شد.